Soal EBTANAS SMA IPA 2003
Tentukan hasil dari \( \displaystyle \int_0^\pi x \cos x \ dx \).
- -2
- -1
- 0
- 1
- 2
Pembahasan:
Soal integral ini bisa diselesaikan dengan teknik atau metode integral parsial. Kita tahu rumus integral parsial, yaitu: \[ \int u \ dv = uv - \int v \ du \]
Dari soal integral di atas, kita bisa abaikan dulu batas integralnya, dan \( \int x \cos x \ dx \) kita misalkan menjadi \( \int u \ dv \) di mana \( u = x \) dan \( dv = \cos x \ dx \). Dari pemisalan ini, kita peroleh:
\begin{aligned} u = x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} &= 1 \\[8pt] du &= dx \\[8pt] dv = \cos x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos x \ dx \\[8pt] &= \sin x \end{aligned}
Dari hasil di atas, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \cos x \ dx &= x \sin x - \int \sin x \ dx \\[8pt] &= x \sin x - (-\cos x) + C \\[8pt] &= x \sin x + \cos x + C \\[8pt] \int_0^\pi x \cos x \ dx &= [x \sin x + \cos x]_0^\pi \\[8pt] &= (\pi \sin \pi + \cos \pi)-(0 \cdot \sin 0 + \cos 0) \\[8pt] &= (\pi \cdot 0 + (-1))-(0+1) \\[8pt] &= -1-1 = -2 \end{aligned}
Jawaban A.